thẳng CD đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng AB. C E A D B Toán Vẽ hai đường thẳng vuông góc 2. Vẽ đường thẳng CD đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng AB cho trước. Điểm E ở ngoài đường thẳng AB E A B Bước 1: Đặt một cạnh góc vuông của ê ke trùng với Một số phương pháp chứng minh Hình học lớp 7. Các ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng – Toán lớp 7. 1. Từ vuông góc đến song song: Kiến thức cần nhớ.Bạn đang xem: Chứng minh vuông góc lớp 7. 1. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc trong hình học phẳng. 2. Các Giải Toán 7 bài 3: Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) Hai đường thẳng vuông góc. Giải Toán 7 bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ. Giải SBT Toán 7 bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ. Giải Toán 7 bài 4: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ 1. Liên hệ giữa tính song song với tính vuông góc trong hình học tập phẳng. - Khi hai đường thẳng phân biệt, cùng vuông góc với mặt đường thẳng thứ tía thì cơ hội đó, chúng sẽ tuy nhiên song cùng với nhau. - Cho hai tuyến phố thẳng tuy nhiên song, giả dụ 1 đường thẳng 18. 8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau. 8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau Từ A kẻ AF//và = BH; Từ F kẻ FE// và = AD. CMR tứ giác ADEF là hình chữ nhât. Giải (Áp dụng cách 1 & 2) Dễ dàng CM được 4 góc của ADEF đều = 900 ( … Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc, Bạn đang xem: Hệ số góc của 2 đường thẳng vuông gócCho hai đường thẳng y = ax + b và y’ = a’x + b’:Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí có chia sẻ tại nhóm facebook Cộng Đồng Giáo Viên Trung học cơ sở mọi người tham gia để tải NKWyril. Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông đang xem Hệ số góc của 2 đường thẳng vuông gócBạn đang xem Hệ số góc của 2 đường thẳng vuông gócCho hai đường thẳng y = ax + b và y’ = a’x + b’Thông báo Giáo án, tài liệu miễn phí có chia sẻ tại nhóm facebook Cộng Đồng Giáo Viên Trung học cơ sở mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!Hai đường thẳng vuông góc với nhau = đường thẳng song song với nhau a = a’ và b≠ b’.Hai đường thẳng cắt nhau a ≠ a’.Hai đường thẳng trùng nhau a = a’ và b = b’.Trong chương trình toán lớp 9, bên cạnh phần đại số thì hình học là một phần không kém quan trọng. Hình học hỗ trợ kỹ năng tư duy toán học tượng hình. Để học tốt toán cần tìm hiểu và ghi nhớ kỹ lưỡng các công thức. Hình học trong toán 9 Toán học là môn học quan trọng, cần được đầu tư kỹ lưỡng về thời gian học. Thời lượng làm bài tập chia đều cho khoảng thời gian trong ngày. Tìm kiếm thêm tài liệu để tham khảo, tìm hiểu bài tập để làm bổ sung. Bên cạnh đó kết hợp với nâng cao năng lực tự học tìm hiểu cái mới. Giải quyết các bài khó bằng phương pháp tự học, học nhóm. Lập nhóm để giúp nhau học tập hiệu quả hơn. Kết hợp vui chơi giải trí, thư giãn đầu óc. Lớp 9 là lớp cuối cấp, chuẩn bị bước vào kì thi vào lớp 10, hẳn sẽ gặp nhiều áp thể bạn quan tâm Các cách chứng minh đường trung trực và bài tập vận dụngNhưng các em chưa cần phải quá bận tâm về vấn đề này. Phía trước còn chặng đường dài học tập. Tập trung ôn luyện để chuẩn bị cho kỳ thi chuyển cấp. Nắm vững kiến thức làm tiền đề cho các cấp học sau này. Dùng kiến thức để áp dụng trong cuộc sống hằng ngày. Hai đường thẳng song song Phần hình học của chương trình toán lớp 9 gồm các kiến thức đã có từ lớp trước. Được triển khai và chuyên sâu hơn. Nội dung về không gian, hình khối. Trung điểm, tia, đường thẳng, các phương pháp chứng minh. Để làm tốt bài tập cần nắm rõ các công thức tính toán tính diện tích, thể tích. Các điều kiện để bằng nhau, giao nhau, song song, đồng dạng. Về đường thẳng có các trạng thái, trường hợp như sau vuông góc với nhau, song song với nhau, cắt nhau và cuối cùng là trùng đường thẳng được cho là vuông góc với nhau khi chỉ số a x a’= -1. Khi đó, chúng gặp nhau và tạo thành 1 góc 90 độ. Trường hợp song song là khi chỉ số a = a’ và b ≠ b’, trong trường hợp này thì 2 đường thẳng không có điểm chung và không giao nhau tại 1 số thời điểm. Khi chỉ số a ≠ a’ sẽ dẫn đến trường hợp 2 đường thẳng giao nhau. Trùng nhau ở trường hợp a = a’.Xem thêm Lý Thuyết Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Lớp 9, Kèm Bài Tập Vận DụngHai đường thẳng cắt nhauHaiđường thẳng cắt nhau là dạng cơ bản của chủ đề mối quan hệ giữa hai đường đường thẳng được gọi là cắt nhau khi chúng cùng đi qua một điểm. Như vậy, vớitừng dạng toán về hai đường thẳng cắt nhau ta có cách giải khác nhau. Thứ nhất,chứng minh hai đường thẳng đã cho cắt nhau. Phương pháp làm như sauBước 1 Lập hệ phươnggiao điểm của hai đường thẳngBước 2 Tìm nghiệm của hệphương trình đó. Nếu hệ phương trình có nghiệm chứng tỏ hai đường thẳng cắtnhau. Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì hai đường thẳng không cắt nhau. Nếu hệphương trình vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng 3 Kết luận và kiểmtra lại thể bạn quan tâm Tính chất các đường trong tam giácĐây là phương pháp chung đối với dạng toán này. Nếu mà hai phương trình đường thẳng đã cho là hai đường thẳng cụ thể thì có thể tìm trực tiếp nghiệm. Nếu hai đường thẳng cho ở dạng tham số thì cần biện luận theo tham số. Trong nhiều trường hợp kể cả là phương trình chứa tham số nhưng vẫn tìm được giao điểm cụ thể của hai đường thẳng. Dạng toán thứ hai là chứng minh một điểm thuộc đường thẳng này cũng thuộc đường thẳng kia. Đây là dạng toán cơ bản mà tất cả học sinh đều được làm. Nó sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn mối quan hệ cắt nhau giữa hai đường thẳng. Phương pháp làm hết sức đơn giản. Chỉ cần thay giá trị tọa độ của điểm đã cho vào công thức hai đường thẳng. Nếu cả hai đều thỏa mãn luôn đúng thì chứng minh được bài toán. Điều này cũng có nghĩa là đây chính là giao điểm của hai đường đường thẳng vuông gócNhư chúng tôi đã trình bày ở trên, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi mà tích hệ số góc của chúng bằng -1. Vậy, với chuyên đề này có những dạng toán nào. Thứ nhất, chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Học sinh chỉ cần xác định đúng hệ số góc của đường thẳng. Đây là bước học sinh dễ mắc sai lầm nhất. Cần đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát thì mới được xác định hệ số góc. Khi đã có hệ số góc của hai đường thì thực hiện tích của chúng. Nếu tích thỏa mãn bằng -1 thì chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Có thể bạn quan tâm Trọng tâm là gì? Tính chất của ba đường trung tuyếnDạng toán thứ hai là tìm giá trị tham số để thỏa mãn hai đường thẳng vuông góc. Các bước làm cụ thể như sauBước 1 Xác định hệ sốgóc của hai đường thẳng theo tham sốBước 2 Lập biểu thứctích hai hệ số góc bằng -1Bước 3. Giải phương trìnhchứa tham số đã lập ở bước 2Bước 4 Kết luận và kiểmtra lại bàiHaidạng toán này là dạng cơ bản thường gặp. Tuy nhiên khi lên các lớp cao hơn độkhó cũng cao hơn hẳn. Ví dụ, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, tìm góc tronghình khong gian,…Tóm lại, mối quan hệ giữa các đường thẳng là nền tảng cơ bản cho kiến thức nâng cao hơn. Do đó, các bạn cần nắm chắc tất cả lý thuyết liên quan đến chuyên đề này. Đồng thời cố gắng vận dụng nhanh chóng và linh hoạt để nâng cao kết quả học tập. Ví dụ 1 Cho hình lập phương Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây a \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} .\ c \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\. Hướng dẫn giải a Vì EG // AC nên góc giữa \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG}\ cũng bằng góc giữa \\overrightarrow {AB}\ và \\overrightarrow {AC}\ Vậy \\left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {EG} } \right = \left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right = {45^0}.\ b Vì AB // DG nên góc giữa \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\ cũng bằng góc giữa \\overrightarrow {DC}\ và \\overrightarrow {DH}\ Vậy \\left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right = \left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right = {45^0}.\ Ví dụ 2 Cho hình chóp tam giác có SA = SB =SC và có \\widehat {{\rm{ASB}}} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}.\ Chứng minh rằng \SA \bot BC, SB\bot AC, SC \bot AB.\ Hướng dẫn giải Xét các tích vô hướng \\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} .\ Ta có \\begin{array}{l} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \\ = \left {\overrightarrow {SA} } \right.\left {\overrightarrow {SC} } \right.c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} - \left {\overrightarrow {SA} } \right.\left {\overrightarrow {SB} } \rightc{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \end{array}\ Theo giá thuyết \\left {\overrightarrow {SB} } \right = \left {\overrightarrow {SC} } \right\ Và \c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} = c{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \Rightarrow \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0\ Vậy \SA \bot BC.\ Chứng minh tương tự ta có \SB\bot AC, SC \bot AB.\ Ví dụ 3 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Lời giải Ta có \\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ}\ Và \\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ}\ Do đó \2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}\ Vậy \2.\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = \left {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right.\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AB} = 0\ Hay \\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = 0\ Tức là \PQ \bot AB.\ Ví dụ 4 Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, \\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}.\. a Chứng minh rằng AB vuông góc CD. b Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \AB \bot IJ.\ Hướng dẫn giải a Ta có \\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \left {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right.\cos BAD - \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right.\cos BAC \end{array}\ Mặt khác ta có \AB = AC = AD,\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\ Nên \\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right.\cos BAD - \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right.\cos BAC = 0\ Vậy AB vuông góc với CD. b Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có \\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right\ Do đó \\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BC} } \right = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right\\ = \frac{1}{2}\left {\left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right\cos {{60}^0} - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right\cos {{60}^0}} \right\\ = \frac{1}{2}\left {\frac{1}{2}{a^2} - {a^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right = 0 \end{array}\ Vậy AB và IJ vuông góc nhau. Contents1 Chuyên đề luyện thi vào 10 Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc hoặc trùng nhau2 I. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Chuyên đề luyện thi vào 10 Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc hoặc trùng nhau I. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông gócII. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông gócIII. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Bạn đang xem 2 đường thẳng vuông góc lớp 10 Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, vuông góc hoặc trùng nhau là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham Câu hỏi trắc nghiệm Hàm số bậc nhấtToán nâng cao lớp 9 Chủ đề 4 Hàm số bậc nhất – hàm số bậc haiHàm số bậc nhấtĐể tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các đề này được biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập “Tìm m thỏa mãn điều kiện vị trí tương đối của hai đường thẳng”, vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết. Xem thêm Hướng Dẫn Cách Chơi 2 Acc Vltk Mobile Trên Bluestacks, Cách Mở Nhiều Cửa Sổ Bluestacks Cùng Lúc I. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông góc + Cho hai đường thẳng d y = ax + b và d’ y = a’x + b- Hai đường thẳng cắt nhau d cắt d’ khi a ≠ a”- Hai đường thẳng song song với nhau d // d’ khi a = a” và b ≠ b”- Hai đường thẳng vuông góc d ⊥ d” khi = -1- Hai đường thẳng trùng nhau khi a = a” và b = b”+ Nếu bài toán cho 2 hàm số bậc nhất y = ax + b và y = a’x + b’ thì phải thêm điều kiện a ≠ 0 và a” ≠ 0 II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông góc Bài 1 Cho hai hàm số y = kx + m -2 và y = 5 – k.x + 4 – m. Tìm m, k để đồ thị của hai hàm sốa, Trùng nhaub, Song song với nhauc, Cắt nhauLời giảiĐể hàm số y = kx + m – 2 là hàm số bậc nhất khi k ≠ 0Để hàm số y = 5 – kx + 4 – m là hàm số bậc nhất khi 5 – k ≠ 0 ⇔ k ≠ 5a, Để đồ thị của hai hàm số trùng nhau Vậy với ; m = 3 thì đồ thị của hai hàm số trùng nhaub, Để đồ thị của hai hàm số song song với nhau Vậy với ; m ≠ 3 thì đồ thị của hai hàm số song song với nhauc, Để đồ thị của hai hàm số cắt nhau ⇔ k ≠ 5 – k ⇔ 2k ≠ 5 ⇔ Vậy với thì hai đồ thị hàm số cắt nhauBài 2 Cho hàm số y = 2m – 3x + m – 5. Tìm m để đồ thị hàm sốa, Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cânb, Cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên Oyc, Cắt đường thẳng y = -x – 3 tại một điểm trên OxLời giảiĐể hàm số là hàm số bậc nhất ⇔ 2m – 3 ≠ 0 ⇔ a, Gọi giao điểm của hàm số với trục Ox là A. Tọa độ của điểm A là Độ dài của đoạn Gọi giao điểm của hàm số với trục Oy là B. Tọa độ của điểm B là B 0; m – 5Độ dài của đoạn OB = m – 5 Ta có tam giác OAB là tam giác vuông tại AĐể tam giác OAB là tam giác vuông cân Vậy với m = 1 hoặc m = 2 thì đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cânb, Gọi A là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên trục Oy trục tung⇒ A 0; bThay tọa độ điểm A vào đồ thị hàm số y = 3x – 4 ta có b = 4Điểm A0; 4 thuộc đồ thị hàm số y = 2m – 3x + m – 5 nên ta có4 = 2m – 3. 0 + m – 5 ⇔ m – 5 = 4 ⇔ m = 9 thỏa mãnVậy với m = 9 thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên trục tungc, Gọi B là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = – x – 3 tại một điểm trên trục Ox trục hoành⇒ B a; 0Thay tọa độ điểm B vào đồ thị hàm số y = – x – 3 ta có a = – 3Điểm B -3; 0 thuộc đồ thị hàm số y = -x – 3 nên ta có0 = -3. 2m – 3 + m – 5 ⇔ -5m + 4 = 0 ⇔ m = thỏa mãnVậy với thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x – 3 tại một điểm trên trục hoànhBài 3 Cho hai đường thẳng d1 y = m + 1x + 2 và d2 y = 2x + 1. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ và tung độ trái dấuLời giảiĐể hai đường thẳng cắt nhau thì m + 1 ≠ 2 ⇔ m ≠ 1Phương trình hoành độ giao điểmm + 1 x + 2 = 2x + 1⇔ mx + x + 2 = 2x + 1⇔ x m + 1 – 2 = -1⇔ x m – 1 = -1 Với Để hoành độ và tung độ trái dấu thì Vậy A1; 1Ba đường thẳng đồng quy nên đồ thị hàm số y = m – 2x + m + 3 đi qua điểm A1; 1Thay tọa độ điểm A vào phương trình ta có 1 = 1.m – 2 + m + 3 hay m = 0Vậy với m = 0 thì ba đường thẳng đồng quy III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Bài 1 Cho hàm số y = 2x + 3k và y = 2m + 1x + 2k – 3. Tìm điều kiện của m và k để đồ thị của hai hàm số là Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 Suy nghĩ về câu tục ngữ Một cây làm chẳng nên non, ba cây chụm lại nên hòn núi cao Viết đoạn văn nghị luận về hiện tượng học tủ, học vẹt 19 Đoạn văn viết về Sở thích bằng tiếng Anh Trình bày suy nghĩ của em về trách nhiệm của thế hệ trẻ hôm nay đối với đất nước trong hoàn cảnh mới Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước Bài toán hình học hai đường thẳng vuông góc là bài toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Biết được tầm quan trọng của nó, VUIHOC viết bài này một cách chi tiết nhất giúp các em có thể nắm bắt phần kiến thức này một cách hiệu quả nhất 1. Lý thuyết về tích vô hướng của hai vectơ Góc giữa hai vectơ Góc giữa 2 vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn tương tự góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng. Nếu ít nhất một trong hai vectơ là vectơ không thì góc giữa hai véc tơ đó không xác định đôi khi một số tài liệu cũng coi góc giữa hai véc tơ đó bằng 0. Còn trong trường hợp cả 2 véc tơ đều khác véc tơ không thì ta tiến hành đưa về chung gốc. Trong không gian cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$. Lấy A là một điểm bất kì, gọi B là điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ là điểm sao cho. Khi đó góc $\widehat{BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, kí hiệu là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$. Rõ ràng từ định nghĩa trên ta suy ra được góc giữa hai véc tơ có một số tính chất. Chẳng hạn Góc giữa hai véc tơ bằng 0º khi và chỉ khi hai véc tơ đó cùng chiều. Góc giữa hai véc tơ bằng 180º khi và chỉ khi hai véc tơ đó ngược chiều. Góc giữa hai véc tơ bằng 90º khi và chỉ khi hai véc tơ đó vuông góc. Cách tính góc giữa 2 vecto trong Oxyz Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto giúp bạn có thể tính được các bài toán cơ bản một cách nhanh chóng nhất. Dưới đây là công thức tổng quát ứng dụng cho các vecto trong không gian. Để tính được góc giữa hai vecto, sử dụng công thức sau để tính cosin của góc rồi từ đó đổi thành số đo nếu đề bài yêu cầu. Cho hai vecto $\vec{u}\vec{x}; \vec{y}; \vec{z}$ và $\vec{v}\vec{x'}; \vec{y'}; \vec{z'}$, góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ được tính theo công thức $cos\vec{u};\vec{v}= \frac{\vec{u}.\vec{v}}{\left \vec{u} \right .\left \vec{v} \right }=\frac{ Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Tích vô hướng của hai vecto trong không gian hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Ở đây chúng ta chỉ đề cập đến công thức tính tích vô hướng 2 véc tơ bằng tọa độ. Công thức tích vô hướng Cho hai vecto $\vec{a}=x_{1};y_{1};z_{1} , \vec{b}=x_{2};y_{2};z_{2}$. Khi đó Tích vô hướng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $\vec{a}.\vec{b}=x_{1}.x_{2}+y_{1}.y_{2}+z_{1}.z_{2}$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng - Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn của vectơ đó. - Cho đường thẳng d. Ta có vecto $\vec{u}$ khác vecto 0 được gọi là vectơ chỉ phương VTCP của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với d. - Nếu là VTCP của d thì $k.\vec{u}$ cũng là VTCP của d. - VTCP và VTPT vuông góc với nhau. Nên suy ra ta có Nếu $\vec{u}=a, b$ Thì $\vec{n}= -b . a$ Đây chính là cách chuyển từ VTCP sang VTPT và ngược lại. - Như vậy ta có thể dễ dàng xác định được đường thẳng khi biết một điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng đó. Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường đường thẳng d1, d2. Gọi $\vec{u_{1}}=a_{1}; b_{1}; c_{1},\vec{u_{2}}=a_{2}; {b_{2}}; c_{2}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $d_{1}, d_{2}$ Khi đó, cosin của góc giữa hai đường thẳng này được tính theo công thức $Cos d_{1}, d_{2} = \left cos\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}} \right = \frac{u_{1}.u_{2}}{u_{1}.u_{2}} = \frac{\left a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}+c_{1}.c_{2} \right }{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}$ 2. Hai đường thẳng vuông góc với nhau Cùng tìm hiểu hai đường thẳng vuông góc lớp 11 với định nghĩa và tính chất của nó nhé! Định nghĩa Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o. Tính chất Tính chất hai đường thẳng vuông góc được trình bày như sau Cho hai đường thẳng a và b có vecto chỉ phương lần lượt là $\vev{u_{1}} , \vec_{u_{2}}$ - Ta có a vuông góc với b khi và chỉ khi tích vô hướng của vecto chỉ phương hai đường thẳng bằng 0 $\vec{u_{1}}.\vec{u_{2}}=0$. - Nếu a / / b mà c ⊥ a thì c ⊥ b - Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. 3. Các dạng toán về hai đường thẳng vuông góc Dạng 1 Tính góc giữa hai đường thẳng Để tính góc giữa hai đường thẳng $d_{1}; d_{2}$ trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách - Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng $d_{1}; d_{2}$ bằng cách chọn một điểm O thích hợp O thường nằm trên một trong hai đường thẳng. Từ O dựng các đường thẳng d1, d2 lần lượt song song có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2. Lưu ý Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cosin trong tam giác $cosA= \frac{b^{2}+c^{2} -a^{2}}{2bc}$ - Cách 2 Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng biết hai véc tơ chỉ phương của chúng. $cos\varphi =\left cos\vec{u}, \vec{v} \right =\frac{\vec{u}. \vec{v}}{\left \vec{u} \right .\left \vec{v} \right }$ Ví dụ 1 Tính góc giữa hai đường thẳng 3x + y - 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0. A. 30⁰ B. 60⁰ C. 90⁰ D. 45⁰ Đường thẳng 3x + y - 8 = 0 có vector pháp tuyến $\vec{n}_{a} = 3;1$ Đường thẳng 4x − 2y + 10 = 0 có vector pháp tuyến $\vec{n}_{b} = 4;-2$ $cosd_{1},d_{2}=\left cos\vec{n_{1};\vec{n_{2}}} \right =\frac{\left \vec{n_{1}}. \vec{n_{2}} \right }{\left \vec{n_{1}} \right .\left \vec{n_{2}} \right }=\frac{\left \right }{\sqrt{3^{2}+1^{2}}.\sqrt{4^{2}+-2^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ => d1,d2 = 45o Ví dụ 2 Tính góc giữa 2 đường thẳng a 3x + y− 2 = 0 và b 2x −y + 39 = 0 Hướng dẫn giải Đường thẳng 3x + y − 2 = 0 có vector pháp tuyến $\vec{n_{a}} = 3;1$ Đường thẳng 2x − y +39 = 0 có vector pháp tuyến $\vec{n_{b}} = 2;-1$ $cosa,b=\left cos\vec{n_{a};\vec{n_{b}}} \right =\frac{\left \vec{n_{a}}. \vec{n_{b}} \right }{\left \vec{n_{a}} \right .\left \vec{n_{b}} \right }=\frac{\left \right }{\sqrt{3^{2}+1^{2}}.\sqrt{2^{2}+-1^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ => a,b = 45o Dạng 2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Cho hai đường thẳng a và b lần lượt có 2 vectơ chỉ phương là u và v. Ta áp dụng một số cách sau để chứng minh hai đường thẳng vuông góc 1. Sử dụng các tính chất về quan hệ vuông góc trong hình học phẳng. - từ vuông góc tới song song, - đường trung trực , đường cao, - định lý Pitago đảo - tính độ dài đoạn thẳng, diện tích của một đa giác 2. Sử dụng định nghĩa góc của 2 đường thẳng trong không gian Hai đường thẳng a và b được gọi vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90º. 3. Sử dụng công thức $cos\vec{u}, \vec{v}$ với $\vec{u}, \vec{v}$ là vecto chỉ phương của 2 đường thẳng a và b. - Nếu $\vec{u}, \vec{v}$ 90º thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng 180 - $cos\vec{u}, \vec{v}$ 4. Ta chứng minh tích vô hướng $\vec{u}.\vec{v} = 0$ trong đó $\vec{u}$ và $\vec{v}$ lần lượt là vector chỉ phương của a và b 5. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng P chứa đường thẳng b. 6. Sử dụng hệ quả của định lý cosin Trong tam giác ABC với AB = c; AC = b; BC = a Ta có định lý cosin như sau $a^{2}=b^{2}+c^{2} $b^{2}=a^{2}+c^{2} $c^{2}=a^{2}+b^{2} Từ đó suy ra $cosA = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ $cosB = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$ $cosC = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Hệ quả này có ý nghĩa rất quan trọng "Trong một tam giác ta luôn tính được các góc nếu biết 3 cạnh". Ví dụ 3 Cho hình chóp có SA=SB=SC và $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}$. Chứng minh rằng SA ⊥ BC Giải Xét $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}$ $= \left \overrightarrow{SA} \right .\left \overrightarrow{SC} \right cos \widehat{ASC} - \left \overrightarrow{SA} \right .\left \overrightarrow{SB} \right cos \widehat{ASB} = 0$ => SA ⊥ BC Ví dụ 4 Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh AB vuông góc với CD. Giải Lấy M là trung điểm của CD. Vì $\Delta$ACD đều nên AM ⊥ CD $\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} = 0$ Tương tự có $\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CD}=0$ Vì thế, ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}=0+0=0$ Suy ra AB ⊥ CD 4. Bài tập vận dụng Câu 1 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. C. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. D. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Đáp án đúng C Phần dẫn ví dụ 2 là câu hỏi. phương án A và B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Phương án C đúng vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì phương của chúng song song với nhau. Phương án D sai vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì có thể song song hoặc trùng nhau. Câu 2 Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì A. thuộc một mặt phẳng B. vuông góc với nhau C. song song với một mặt phẳng D. song song với nhau Đáp án đúng C Phương án A sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau Phương án B sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau Phương án D sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau Phương án C đúng vì chúng đồng phẳng Câu 3 Cho một hình tứ diện ABCD, được biết AB = CD = a, $IJ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ trong đó I và J lần lượt là các trung điểm của đoạn BC và AD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A. 30° В. 45° C. 60° D. 90° Hướng dẫn giải Đáp án đúng C Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AC và BC. Та сó $\left\{\begin{matrix} MI=NI=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}\\ MI//AB//CD//NI \end{matrix}\right.$ → MINJ là hình thoi. Gọi O là giao điểm của MN và IJ. Ta có $\widehat{MIN} = 2 \widehat{MIO}$ Xét ΔMIO vuông góc tại góc O , ta có $cos \widehat{MIO} = \frac{IO}{MI} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}} =\frac{\sqrt{3}}{2}$ => $\widehat{MIO}$ = 30° → $\widehat{MIN}$ = 60° Mà AB, CD = IM,IN = $\widehat{MIN}$ = 60° Câu 4 Cho hình chóp có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc bằng MN, SC A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° Giải Câu 5 Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b. B. Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b. C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b. D. Nếu a và b cùng nằm trong mpa//c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c. Đáp án B Giải thích Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau. C sai do Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuông góc chung của a và b. Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùng bằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song. D sai do giả sử a vuông góc với c, b song song với c, khi đó góc giữa a và c bằng 90°, còn góc giữa b và c bằng 0°. Do đó B đúng. Câu 6 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng P song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Tứ giác không phải là hình thang. Giải Hướng dẫn giải Ta có $\left\{\begin{matrix} MNPQ//AB \\ MNPQ\cap ABC=MQ \end{matrix}\right.$ => MQ // AB. Tương tự ta có MN // CD, NP // AB, QP // CD. Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành lại có MN ⊥ MQ do AB ⊥ CD. Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Đáp án đúng C Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc giữa IE, JF bằng A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o Giải Từ giả thiết ta có - IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ // AB; IJ = ½ AB - EF là đường trung bình của tam giác ABD nên EF // AB; EF = ½ AB $EF//AB;EF=\frac{1}{2}AB$ - Suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành 1 - Lại có IF là đường trung bình của tam giác ACD nên $IF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$ vì AB = CD 2 - Từ 1 và 2 suy ra tứ giác IJEF là hình thoi. ⇒ IE ⊥ JF tính chất hai đường chéo của hình thoi. ⇒ Do đó, góc giữa hai đường thẳng IE và JF là 90°. Đáp án đúng D Câu 8. Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi lần lượt M, N, P, Q là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thang. Hướng dẫn giải Ta thấy - MN // PQ // AB - NP // MQ // CC’ MNPQ là hình bình hành Gọi H là trung điểm của AB. Vì hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB nên - CH ⊥ AB - C'H ⊥ AB Suy ra AB ⊥ CHC' Do đó AB ⊥ CC' Ta lại có - PQ // AB - PN // CC’ - AB ⊥ CC’ $\Rightarrow$ PQ ⊥ PN Mà MNPQ là hình bình hành chứng minh trên Kết luận tứ giác MNPQ là hình chữ nhật Đáp án đúng B Câu 9. Cho tứ diện ABCD với $AC = \frac{3}{2}AD, \widehat{CAB}=\widehat{DAB}=60^{o}, CD = AD$. Gọi $\varphi$ là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng ? A. cos$\varphi$ = 3/4 B. $\varphi$= 60o C. $\varphi$= 30o Hướng dẫn giải Ta có $\overrightarrow{AB }. \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB }. \overrightarrow{AD }- \overrightarrow{AC}$ $= \overrightarrow{AB }. \overrightarrow{AD }- \overrightarrow{AB }. \overrightarrow{AC}$ = - = ½ - ½ = AB/2. AD - AC = -¼ = -¼ 1 Lại có $\overrightarrow{AB }. \overrightarrow{CD}$ = }. \overrightarrow{CD}$ 2 Từ 1 và 2 => cos $\overrightarrow{AB }. \overrightarrow{CD}$ = -¼ => cos$\varphi$=1/4 Đáp án đúng D Câu 10. Cho hình chóp có SA = SB = SC và $\widehat{ASB} =\widehat{BSC}=\widehat{CSA}$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ? A. 60o B. 120o C. 45o Giải Chọn D Ta có SA = SB = SC nên $\Delta SAB=\Delta SBC=\Delta SCA$ c- g-c $\Rightarrow$ AB = BC = CA - Do đó, tam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. - Vì hình chóp có SA = SB = SC nên hình chiếu của S trùng với G. Hay SG ⊥ ABC. Ta có - AC ⊥ BG - AC ⊥ SG $\Rightarrow$AC ⊥ SBG Suy ra AC ⊥ SB - Vậy góc giữa cặp vectơ SB và AC bằng 90o Hai đường thẳng vuông góc trong chương trình toán 11 là phần kiến thức rất quan trọng, là tiền đề cho các dạng toán sau này. VUIHOC đã trình bày chi tiết về lý thuyết cũng như bài tập vận dụng về hai đường thẳng vuông góc giúp các em ôn tập dễ dàng hơn. Để tìm hiểu về các bài viết hay khác, các em có thể truy cập vào để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ ngay trung tâm hỗ trợ ngay để ôn tập được thật nhiều kiến thức nhé!

2 đường thẳng vuông góc